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        在以上基础上，后来数学中发展了环的概念，整环R是符合一下接个要求的：

        1、A关于加法成为一个Abel群（其零元素记作0）；

        2、乘法满足结合律：(a*b)*c=a*(b*c)；

        3、乘法对加法满足分配律：a*(b+c)=a*b+a*c，(a+b)*c=a*c+b*c；

        如果环A还满足以下乘法交换律，则称为“交换环”：

        4、乘法交换律：a*b=b*a。

        如果交换环A还满足以下两条件，就称为“整环”（）：

        5、A中存在非零的乘法单位元，即存在A中的一个元素，记作1，满足：1不等于0，且对任意a，有：e*a=a*e=a；

        &=0=&;a=0或b=0。

        而后来也引入了欧几里得整环的概念，这是抽象代数中，这是一种能作辗转相除法的整环。凡欧几里得整环必为主理想环。

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